Limiti

Il limite di una funzione definisce l'andamento della funzione all'avvicinarsi ad un dato valore e servono in analisi matematica a definire la continuità, derivazione e integrazione.

Il limite viene calcolato in un determinato intorno(destro o sinistro) di un determinato valore.

Cosa significano + e - in alto a destra dei numeri?

Sopra il limite destro e sotto il limite sinistro.

Perché nel secondo caso esce un risultato differente?


Nonostante sia la funzione sia x0 siano uguali il risultato è differente perché vengono presi in esame due differenti intorni prima destro e poi sinistro.
Il segno nell'esempio cambia perché denominatore (in entrambi i casi = 0) nel primo caso è un "zero più",(vale a dire uno + 0,00000000000001 ad esempio) ,mentre nel secondo caso è uno "zero meno" (vale a dire - 0,00000000001).
Quindi applicando la regola dei segni nella divisione tra numeratore e denominatore i risultati saranno quelli proposti in figura.

Se il risultato di un determinato limite cambia a seconda dell'intorno che ci andiamo a calcolare possiamo affermare che la nostra funzione cambierà comportamento in quel determinato punto.

Formula:




Si legge "limite di f di x con x che tende a x con 0 è uguale a l".

Il significato di questa formula è che la funzione f(x) con argomento che si avvicina ad x0(un numero finito) ha come risultato un numero definito "l".

Come si calcola il limite?


Per calcolarsi il limite di una funzione basta andare a sostituire con x0 tutte le x presenti nella funzione.

Ad esempio, il limite che devo andare a calcolarmi è:


lim x^2 + 2x + 3= +3
x->0


 questo perché vado a sostituire lo 0 al posto della x quindi seguendo tutti i passaggi succede

lim (0)^2 + 2(0) +3= +3
x->0

0 al quadrato=0
2 per 0=0

Lo stesso procedimento va applicato con x che tende a qualsiasi valore finito.

Ma cosa succede se il limite di una funzione ha x che tende a più o meno infinito?


Prendiamo in esame lo stesso limite solo che in questo caso facciamo tendere la x a +∞


Quindi:


lim x^2 + 2x +3= +∞
x->+∞


Il risultato possiamo ottenerlo come prima andando a sostituire la x con +∞.


Cosa succede se mi esce ∞/∞ come risultato in una funzione fratta?


Probabilmente ti sei imbattuto in una forma indeterminata(vedi forme indeterminate).


Ma prima di passare a fare complessi calcoli per risolvere una forma indeterminata controlla sempre il grado massimo della tua funzione.


Ti faccio un esempio:


lim        x^2 + x    =+∞
x- +∞       x + 1
                         
Seguendo la regoletta che abbiamo citato sopra il risultato dovrebbe essere +∞/+∞ , ma ci rendiamo conto che in questo caso abbiamo al numeratore una funzione con il grado massimo superiore a quello della funzione del denominatore quindi si tiene conto solo della funzione sopra.
Possiamo dire molto ,ma molto, semplicemente che la funzione con il grado massimo più alto "vince" sull'altra e il risultato del limite è quello della funzione "vincente".              


Per i limiti notevoli e altre formule visita la pagina Formulario